Linealizando Funciones No Lineales (Laboratorio)

Para esta tercera entrega de laboratiorio elegí el siguiente ejercicio que consiste en linealizar una función no lineal.

Para resolver esta función necesitamos aplicar una fórmula de las series de Taylor hasta la primera derivada debido a que la ecuación tiene una sola variable.

Una vez teniendo esta fórmula la transformaremos a la forma punto-pendiente: 

Y nos quedaría:

 

Ahora lo que queda es resolver la ecuación primero sustituimos nuestra ecuación en la fórmula

 

 Evaluando con x=2, derivando la ecuación y eliminando paréntesis nos queda:

Finalmente regresamos la ecuación a la forma de ecuación de la forma de la recta y ésta es nuestra aproximación lineal a la ecuación no lineal planteada en el ejercicio.

 

Fuentes de Consulta:

http://www.vitutor.com/geo/rec/d_4.html

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r71522.PDF

Tarea 6 - Cuantificadores y Lógica Predicativa

Para esta tarea el ejercicio seleccionado es el siguiente:

"4.9 Asume the domain of discurse is all animals. Translate: "Some birds do not fly." (Use B for being a bird and F for being able to fly.)"

Asume que el objeto de discurso es todos los animales. Traduce a Lógica Predicativa "Algunas aves no vuelan." (Usando B para ser un pajaro y F para ser capaz de volar)

Si repasamos ahora cómo pueden ser expresados los silogismos en forma de lógica de predicados 

                                      Todos A son B              ∀x(Ax ! Bx)

                                       Ningún A es B           ¬∃x(Ax ^ Bx)

                                    Algunos A son B           ∃ x(Ax ^ Bx)

                                  No todos A son B          ¬∀x(Ax ! Bx)

Volviendo a leer nuestro enunciado "Algunas aves no vuelan."  podemos notar que es similar a la notación "Algunos A son B ∃ x(Ax ^ Bx)"

Por lo que el equivalente en Lógica Predicativa de nuestro enunciado, ajustándonos a los requisitos en que B = ser un ave y F = ser capaz de volar,  es:

∃x(B(x) ^ ¬F(x))

Fuente de Consulta:
http://www.logicinaction.org/docs/ch4.pdf

Funciones de Transferencia (Clase)

Para este primer reporte de la clase de Automatización y Control de Sistemas, el objetivo es elaborar una función de transferencia para el proyecto que vamos a controlar.

Nuestro proyecto consistirá en controlar la velocidad de un ventilador (a escala) tomando como parámetro la temperatura ambiente (mientras más alta mayor velocidad, mientras más baja menor).

Mi modelo matemático consiste en aplicar un amplificador operacional al voltaje de entrada del sistema que como salida nos arroje un voltaje dentro del intervalo [8-13Volts] que es el rango en que opera nuestro ventilador a escala (vn4-012p) y, posteriormente con ayuda de un sensor de temperatura y algo de programación obtener que el voltaje de salida ajuste la velocidad del ventilador que corresponda a la temperatura ambiente.

Los amplificadores operacionales son circuitos integrados que sirven para amplificar señales de voltaje.

Un amplificador operacional no inversor  está denotado por el siguiente circuito:

Para obtener la primera parte de nuestra función de transferencia, en el caso de los AOpNI, tenemos que el voltaje de salida está denotado por la siguiente fórmula:

Ahora procederemos a aplicar la transformada de Laplace en la anterior fórmula para así obtener la entrada de nuestra función de transferencia:

Eliminamos paréntesis y separamos términos 

Utilizando propiedades de Laplace separamos la suma en dos Transformadas:

Siguiendo sacamos la fracción de constantes afuera de la transformada de Laplace.

Ya habiendo separado, aplicamos fórmula y obtenemos resultado.

 Ya si queremos simplificar el resultado sacamos el Vinp como factor común:

Ahora procedemos a transformar nuestra función de salida como último paso para generar nuestra función de transferencia.

Evaluaremos como salida lo que será la frecuencia de nuestro ventilador (dicha frecuencia variará por la acción del voltaje de entrada). La frecuencia está denotada por la ecuación:

Luego aplicando la transformada de Laplace nos queda la notación:

Resolviendo con fórmula obtenemos: 

Finalmente simplificando numerador con numerador, denominador con denominador resulta:

Ya con nuestras funciones obtenidas de entrada y salida construimos nuestra fórmula de transferencia de la forma:

Ahora sustituyendo los resultados obtenidos de las transformadas de funciones de entrada y salida nuestra función de transferencia final es:

Fuentes de Consulta:

http://www.bearblain.com/fan_speed_control.htm

http://www.fisicapractica.com/frecuencia-periodo.php

http://www.slideshare.net/ptah_enki/modelamiento-matemtico

http://www.slideshare.net/Martinfeg/amplificadores-operacionales-con-funciones-de-transferencia

http://elisa.dyndns-web.com/~elisa/teaching/sys/control/funciones.pdf

                                                      

Transformada Inversa de Laplace (Laboratorio)

Para esta segunda tarea se me fue asignado un ejercicio que consiste en la siguiente Transformada Inversa de Laplace:

En la siguiente imagen adjunto los "highlights" del procedimiento:

Por último se realiza la comprobación usando Wolframalpha:

Fuentes de Consulta:
http://facultad.bayamon.inter.edu/smejias/precalculo/conferencia/completcuad1.htm
http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+laplace+transform+%5B%28s%2B1%29+%2F+%28s%28s%5E2%2Bs%2B1%29%29%5D
http://prendetuneurona.blogspot.mx/2010/04/formulario-de-transformada-de-laplace.html
http://prof.usb.ve/williamc/PS2315/propiedades_TL.pdf
Problemario de Series de Fourier y Transformadas de Laplace de la FIME.
Agradecimiento especial para Jair Viezca que me asesoró.

Tarea 5 - Ejercicio Lógica Predicativa

Para esta tarea elegimos un ejercicio del libro Symbolic Logic de Lewis Carroll 

Yo elegí el ejercicio 22 de la pagina 101, lo que debemos hacer con este par de sentencias es ecribirlo en notación simbólica-lógica usando conectivos, cuantificadores, etc. Las sentencias del ejercicio elegido son las siguientes:

"Some lessons are difficult.
What is difficult needs attention."

"Algunas lecciones son difíciles.
Lo que es difícil necesita atención"

Para resolverlo primero definí las siguientes equivalencias:

Lessons (Lecciones) = L(x)
Difficult (Difíciles) = D(x)
Attention (Atención) = A(x)

Como repaso en lógica de predicados tenemos 2 símbolos fundamentales: 

• ∀ - cuantificador universal (todos)
• ∃  - cuantificador existencial (existe por lo menos uno)

Ya con esto sólo queda analizar las sentencias (enunciados) y sustituir palabras por símbolos. 

"Some lessons are difficult."

Some = hace referencia algun/algunos     are = acto de implicación

"What is difficult needs attention." 

What is = hace referencia a que todo   needs = acto de implicación

Y, finalmente, con estos razonamientos lo ùnico que queda hacer es sustituir palabras por expresiones.

"Some lessons are difficult.                   ∃x L(x)  ⇒ D(x)

What is difficult needs attention."         ∀x D(x) ⇒ A(x)

Fuente de Consulta

http://www.gutenberg.org/files/28696/28696-h/28696-h.htm#p008propose

Tarea 4 - Diagramas Binarios de Decisión (BDD)

Para esta entrada construiremos diagramas binarios de decisión a partir de una expresión de lógica proposicional (que nosotros mismos inventamos).
La expresión proposicional que inventé para el desarrollo de esta tarea y su correspondiente tabla de verdad es la siguiente:

 

El primer BDD construido a partir de la tabla de verdad obtenida se ve así:

A partir de este BDD inicial vemos que en todos los casos las salidas se repiten (parejas de 0's y de 1's) entonces primeramente convertiremos las parejas de salidas en una sola salida individual y enlazaremos las combinaciones de C a dicha salida individual, y quedaría de la siguiente manera:

Ahora, con el árbol anterior comenzaremos a reducirlo para así obtener nuestro ROBDD final.

Comenzaremos por organizar nuestras salidas para que sólo nos queden 0 y 1 y quedaría de la siguiente manera:

Y finalmente, podemos obsevar que en todas las combinaciones cuando a = 1 (línea continua) cualquier combinación de "b" y "c" nos da 1 siempre por lo que podemos minimizar el árbol enviando a = 1 hasta la salida 1. 

Ahora analizando cuando a = 0 (línea discontinua); para combinaciones de b = 0 (línea discontinua) cualquier combinación de "c" nos da 0, por lo que podemos minimizarlo enviando 

b = 0 directamente a la salida 0, mientras que cuando b = 1 (línea continua) cualquier combinación de "c" nos da 1 por lo que podemos minimizarlo enviando b = 1 directamente a la salida 1. Y así obtenemos el ROBDD final: