Materias 7mo Semestre ITS: Tarea 3 - Aplicaciones Lógica Proposicional

Modus ponendo ponens o modus ponens

Modus tollendo ponens

Modus tollendo tollens

Ley conjuntiva

Ley simplificativa

Ley aditiva

Silogismo condicional o ley transitiva

Lógica Proposicional.

Aplicación. Lógica proposicional en la obtención de conclusiones a partir de proposiciones ya conocidas. (Razonamiento o Inferencia)

Es la rama de la lógica encargada de estudiar preposiciones las cuales son enunciados referenciales o informativos que puden tener un valor de verdadero o falso.

Nos servimos del lenguaje en las más diversas formas: para hacer preguntas, dar órdenes, expresar deseos y también para hacer afirmaciones acerca de los objetos. Es decir, enunciar hechos o describir situaciones. De una pregunta no tiene sentido preguntarse si es verdadera o falsa. Ejemplo:

"¿Quién desea ayudarme?"
¿Qué hora es?,

no son, en cuanto tal, ni verdaderas ni falsas.

En cambio, de las afirmaciones que hacemos acerca del mundo, sí tiene sentido preguntarse por su verdad o falsedad. Este uso del lenguaje se denomina: enunciativo, indicativo, asertórico. La lógica actual, se ocupa de este tipo de discurso. Es decir, de aquel cuyos enunciados son, o bien verdaderos o bien falsos.

Las siguientes expresiones:

“Pedro fue al colegio”
“Peter went to the college”

son distintas en cuanto que son diferentes trazos sobre el papel. Sin embargo, dicen lo mismo. Es decir, enuncian una misma proposición.

Se entiende por proposición el contenido trasmitido en una oración hecha en modo indicativo. Se empleará el término proposición o enunciado indiferentemente.

Se puede decir, que la lógica es la ciencia de los principios de inferencia o razonamientos formalmente válidos. Lo específico de un razonamiento o inferencia consiste en derivar una conclusión a partir de unas premisas siguiendo una regla de inferencia dada, llamada modus ponens . De esta conclusión se dice que es formalmente válida, es decir, que si sus premisas son verdaderas entonces la conclusión también es verdadera. La lógica se ocupa de la validez de los razonamientos y no de la verdad o falsedad de los enunciados que la componen.

En todo razonamiento, es posible diferenciar la forma del contenido. Así, por ejemplo:

Si llueve, entonces no iré al teatro.
Si pago las deudas, entonces no tendré problemas.

Son dos enunciados de contenidos diferentes. Su forma sin embargo, es la misma. Su estructura se representa así:

Si ______, entonces no _____

Razonar es un proceso progresivo de la mente, que va de unas proposiciones ya conocidas llamadas premisas a otra nueva llamada conclusión. La conclusión está en parte contenida en las premisas, de modo que para que el razonamiento esté bien construido tiene que haber una relación de necesidad entre las premisas y la conclusión. La conclusión se deriva necesariamente de las premisas. Por ejemplo, cuando descargo un camión de muebles, extraigo éstos del interior, y es en ese momento cuando puedo apreciarlos en su conjunto. Sacar conclusiones es derivarlas de las proposiciones anteriores o premisas:

"Si estudio, aprendo. Es así que estudio, luego aprendo".

La conclusión de un razonamiento es la proposición que se afirma sobre la base de las otras proposiciones que nos dan los elementos de juicio o razones para aceptar la conclusión.

En el lenguaje formal la conclusión va precedida del símbolo

que se lee "luego".
El razonamiento anterior se simboliza:

1.	$p \to q$	( primera premisa )
2.	$p$	( segunda premisa )
	$\vdash q$	(conclusión)

Un razonamiento bien construido puede ser falso en su contenido material, por ejemplo si digo:

"Todos los burros vuelan".

"Platero es un burro".

Luego "Platero vuela".

El razonamiento es materialmente falso pero es válido lógicamente porque está bien construido. A la lógica sólo le importa la validez formal.

Otro ejemplo descabellado puede ser:

"La tierra está formada de plastilina".

"Mi brazo forma parte de la tierra".

Luego "Mi brazo está formado de plastilina".

El razonamiento es lógica o formalmente verdadero porque la lógica busca que la conclusión se derive necesariamente de las premisas, y no una verdad de hecho.

Puede darse el caso, sin embargo, de razonamientos que sean verdaderos materialmente y válidos formalmente, por ejemplo:

"Quien no se presente a examen, suspenderá".

"Pepa no se ha presentado".

Luego "Pepa suspende".

En resumen, en lógica no interesa tanto la verdad o falsedad de las proposiciones, sino las relaciones lógicas que existen entre ellas.

Un razonamiento es válido cuando la conclusión se deriva necesariamente de las premisas y es inválido cuando la conclusión no se deriva de las premisas.

Ejemplos de razonamiento:

1. $p\to q$	2. $p\to q$	3. $p\to q$	4. $p\to q$
$p$	$q$	$\bar p$	$\bar q$
$\vdash q$	$\vdash p$	$\vdash \bar q$	$\vdash \bar p$

También pueden escribirse: $p\to q$ , $p \vdash q$ ; $p\to q$ , $q +\vdash p$ etc.

¿Cómo se puede saber si un razonamiento es o no válido sin necesidad de traducirlo al lenguaje natural?

Podemos hacerlo mediante las tablas veritativas.

Modus operandi:

1. Se hallan las tablas de cada una de las premisas y de la conclusión.
2. Si se da el caso de que teniendo valor verdadero las premisas, la conclusión es falsa, la inferencia es inválida.
3. Si la conclusión es verdadera al igual que las premisas, el razonamiento es válido. Por ejemplo:

1.	$p \lor q$	( primera premisa )
2.	$\bar p$	( segunda premisa )
	$\vdash q$	(conclusión)

$p\lor q$	$\bar p$	$q$
1	0	1
1	0	1
1	1	1
0	1	0

La columna de la izquierda expresa los valores de la disyunción de

; los del centro la segunda premisa que es

, y la última columna los valores de la conclusión

.

Vemos que no hay ningún caso en que siendo verdaderas ambas premisas, la conclusión sea falsa. Luego el razonamiento es válido.

Si razonamos así:

1.	$(p \lor \bar q) \to p$	( primera premisa )
2.	$(p \to q)$	( segunda premisa )
	$\vdash p \land q$	(conclusión)

En la tercera fila se observa que, siendo verdaderas las dos premisas, la conclusión es falsa, luego el razonamiento es inválido. De este modo podemos comprobar la validez de muchos razonamientos.

Algunos razonamientos válidos, son leyes lógicas como las que anteriormente hemos expuesto, y sirven también para calcular la validez de otros razonamientos.

Los más usados son:

$p\to q$ , $p \vdash q$

$p\lor q$ , $\bar p \vdash q$

$p\lor q$ , $\bar q \vdash p$

$p\to q$ , $\bar q \vdash \bar p$

$p$ , $q \vdash p\land q$

$p\land q \vdash p$

$p\land q \vdash q$

$p \vdash p \lor q$

$p\lor \bar q$

$p\lor \bar q\to p$

$p \land q$

$p\to q$ , $q \to r \vdash p\to r$

Silogismo condicional, es aquel en que la premisa mayor es una proposición condicional y la menor una categórica. Por ejemplo:

Si Pedro es mayor de edad, puede emanciparse;

Pedro es mayor de edad,

Luego Pedro puede emanciparse.

Recordando la regla de verdad de las proposiciones condicionales, sucederá en este silogismo que de la verdad de la condición se seguirá la del condicionado. Efectivamente, un silogismo condicional no es más que una proposición condicional más desarrollada. En ambas operaciones mentales la conexión entre el antecedente y el consecuente debe ser necesaria. Las conclusiones deben venir por causalidad lógica.