Materias 7mo Semestre ITS: Margen de fase de función de transferencia (Laboratorio)

Para este reporte elegí el siguiente problema:

Considere el sistema de control con retroalimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es:

$G(s)=\frac{as+1}{s^{2}}$

Determine el valor de a tal que el margen de fase sea 45°.

Lo primero es igualar G(s) en terminos de G(jw) y sustituir las s por w.

$G(jw)=\frac{aw+1}{w^{2}}$

Lo siguiente es representar la ecuación en forma de la razón de la amplitud elevando al cuadrado y aplicando raíz cuadrada:

$|G(jw)|=\frac{\sqrt{a^{2}w^{2}+1}}{w^{2}}$

Después igualamos a 1 toda la ecuación y después la simplificamos:

$\frac{\sqrt{a^{2}w^{2}+1}}{w^{2}}=1$

$a^{2}w^{2}+1=w^{4}$

Habiendo desarrollado la ecuación anterior lo siguiente es definir la ecuación para ángulo de fase, ésta está denotada de la siguiente manera:

$\phi = \sqsubseteq G(wj)=-tan^{-1}aw$

Si evaluamos con $\phi = 45$ :

$aw=tan^{-1}(45)$

Finalmente con:

$a^{2}w^{2}+1=w^{4} , aw=1$

evaluamos y despejamos a.

Primero escribimos la ecuación en terminos de a:

$w=\frac{1}{a}$

$a^{2}\frac{1}{a^{2}}+1=\frac{1}{a^{4}}$

Luego $a^{2}$ del numerador con $a^{2}$ del denominador se hace 1 y se elimina y nos queda:

$2=\frac{1}{a^{4}}$

Despejamos a:

$a=\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$

Y finalmente calculamos el resultado:

Comprobación octave:

En esta imagen con el comando margin obtenemos parametros Gm: Margen de ganancia (dB), Pm: Margen de fase (en grados), Wcg: frecuencia para fase,Wcp: frecuencia para ganancia y en el Pm que corresponde a margen de ganancia encontramos los 45° por lo que se comprueba que el resultado obtenido de a es correcto.

Finalmente, el diagama de nyquist